O fato de um
número negativo não ter
raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos. Um
número complexo é um
número que pode ser escrito na forma , sendo
e
números reais e
denota a
unidade imaginária. Esta tem a propriedade sendo que
e
são chamados respectivamente
parte real e
parte imaginária de
.
O conjunto dos números complexos, denotado por
, contém o conjunto dos
números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números reais, adquire uma
estrutura algébrica denominada
corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o
conjunto de possuir todas as soluções de qualquer
equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu
isomorfismo com um
espaço vetorial sobre
, o conjunto dos reais.
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado
módulo, dado por:
-
O módulo de
z, visto como uma
norma no espaço vetorial, conduz a um
espaço normado topologicamente
completo.