O
tensor deformação ou
tensor de deformações é um
tensor simétrico usado em
mecânica de meios contínuos e mecânica de sólidos deformáveis para caracterizar a alteração de forma e volume de um corpo. Em três dimensões um
tensor (de ordem dois) de deformação. Este tensor também é conhecido com
tensor de deformação Green-Lagrange. Podemos calcular as deformações através da variação do comprimento de um elemento de linha arbitrário (na configuração deformada) com relação a (na configuração indeformada). A mudança de tal elemento de linha pode ser interpretada como um mapeamento da posição final pela posição inicial expressa por meio de gradientes, ou seja, através de uma matriz jacobiana 3x3(caso tridimensional). Essa matriz é representada, como:
O quadrado do comprimento euclidiano do diferencial de linha é dado por:
A metade da diferença entre os comprimentos final e inicial é dado por:
Onde I é a matriz identidade. Define-se, portanto, o tensor de Green-Lagrange como uma relação entre comprimentos de linha, de modo que teremos:
Podemos, também, descrever nosso tensor em função do campo de deslocamento, sendo essa forma mais utilizada. Dado que a matriz jacobiana pode ser escrita em função dos deslocamentos tem-se
Pela definição de campos de deslocamento, podemos modificar a expressão anterior para:
Ao inserirmos no tensor de deslocamentos de Green-Lagrange, obtém-se:
Podemos simplificar nosso sistema determinando que as derivadas do deslocamento são suficientemente pequenas para que seus produtos sejam desconsiderados. Isso equivale a dizer que os deslocamentos são infinitesimais, ou seja as configurações iniciais e finais se confundem. Chamamos essa simplificação de hopótese dos pequenos deslocamentos. Sendo assim, podemos escrever nossa expressão na forma:
Onde cada um dos componentes do tensor anterior é uma
função cujo domínio é o conjunto de pontos do corpo cuja
deformação pretende caracterizar-se. O
tensor de deformações está relacionado com o
tensor de tensões mediante as equações de Hooke generalizadas, que são relações do tipo termodinâmico ou
equações constitutivas para o material do qual é feito o corpo.
Tendo-se em conta que estes componentes e
ij) em geral variam de ponto a ponto do corpo e portanto a deformação de corpos tridimensionais é representada por um
campo tensorial.