En
algèbre, le terme de
polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble
A de nombres, qui peut être celui des
entiers ou des
réels, et on lui adjoint un élément
X, appelé
indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme
X, les puissances de
X multipliées par un nombre, aussi appelés
monômes (de la forme
aX ), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée
A[
X]. Les règles de notation de l'addition et de la multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi
X +
X est noté 2.
X, ou encore
X.
X est noté
X . Des exemples de polynômes formels sont :
L'ensemble
A, utilisé pour bâtir la structure
A[
X], peut être composé de nombres, mais ce n'est pas indispensable. On lui demande seulement de supporter deux opérations, l'addition et la multiplication. Si ces deux opérations possèdent certaines propriétés comme l'
associativité, la
commutativité et la
distributivité de la multiplication sur l'addition, on dit que
A est un
anneau commutatif. On lui demande souvent de posséder un
élément neutre pour la multiplication. Seul ce cas est traité dans cet article. Parfois,
A possède des propriétés encore plus fortes, comme d'être un
corps commutatif, ce qui signifie que tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, à l'image des
rationnels ou des réels. Dans ce cas, en plus de l'addition et de la multiplication, la structure
A[
X] possède une
division euclidienne, à l'image de l'anneau des entiers et il devient possible d'utiliser les techniques de l'
arithmétique élémentaire pour travailler sur les polynômes formels. L'
identité de Bézout s'applique, comme le
lemme d'Euclide ou le
théorème fondamental de l'arithmétique. Il existe un équivalent des
nombres premiers constitué par les polynômes
unitaires irréductibles. Quelle que soit la nature de l'anneau commutatif et unitaire
A, la structure
A[
X] possède au moins les caractéristiques d'un anneau commutatif. On parle d'anneau des polynômes formels.