En
algèbre, un
polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans un
anneau commutatif unitaire
A est un élément d'une
A-
algèbre associative qui généralise l'algèbre
A[
X] des
polynômes en une
indéterminée X. On peut construire l'algèbre
A[
X, … ,
X] des polynômes en un nombre fini
n d'indéterminées
par récurrence sur
n : c'est l'algèbre des polynômes en une indéterminée
X, à coefficients dans l'anneau
A[
X, … ,
X]. L'algèbre
A[(
X)] des polynômes en un nombre quelconque d'indéterminées
X,
indexées par un ensemble
I quelconque (éventuellement infini), peut alors être définie comme la « réunion » des
A[(
X)] pour toutes les parties finies
J de
I. Plus directement — que
I soit fini ou infini —
A[(
X)] peut être définie comme l'
algèbre d'un monoïde : on décrit d'abord le
monoïde des
monômes unitaires (les produits d'un nombre fini d'indéterminées
X, éventuellement répétées), et les polynômes sont ensuite définis comme les
combinaisons linéaires formelles à coefficients dans
A de tels monômes.