Em
matemática, um
grupo é um
conjunto de elementos associados a uma
operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas
axiomas de grupo:
associatividade,
elemento neutro e
elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os
números inteiros munidos da
adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da
álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador central da matemática contemporânea.
O conceito de grupo emergiu do estudo de
equações de polinômios com
Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições vindas de outros ramos da matemática, como
teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e se estabeleceu firmemente por volta de
1870. A
teoria dos grupos moderna - uma área muito ativa de pesquisa - estuda os grupos em si mesmos. Para explorá-los, matemáticos formularam várias noções para quebrar grupos em partes menores e mais compreensíveis, como
subgrupos,
grupos quocientes e
grupos simples. Além das propriedades abstratas, matemáticos estudam as diferentes maneiras em que um grupo pode ser expresso concretamente (as
representações do grupo), tanto de um ponto-de-vista teorético quanto prático-computacional. Em particular, uma teoria ricamente desenvolvida é a dos
grupos finitos, que culminou com a monumental
classificação dos grupos simples finitos, completada em 1983.