Leach nasce a Plymouth, figlio di un avvocato. A 12 anni frequenta la scuola di Exeter (Devon, Inghilterra), dove studia anatomia e chimica. A quell'epoca Leach collezionava già esemplari marini provenienti da Plymouth e dalle coste di Devon. All'età di 17 anni inizia a studiare medicina all'ospedale San Bartolomeo di Londra, terminando i suoi studi all'Università di Edimburgo e all'Università di Sant'Andrea.