Ein
vollständiger Raum ist in der
Analysis ein
metrischer Raum, in dem jede
Cauchy-Folge von Elementen des Raums
konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der
rationalen Zahlen mit der
Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu
vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der
reellen Zahlen.