Quand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc. La
théorie de la calculabilité en est un exemple. Par
théorie axiomatique, on fait référence à quelque chose de plus précis, des
axiomes et leurs conséquences, les
théorèmes, énoncés dans un langage précis. Dans la suite on dira le plus souvent théorie pour théorie axiomatique, ce qui est d'usage courant en
logique mathématique. Il y a bien sûr un rapport entre les deux notions. Mais on voit bien qu'il serait très réducteur de définir la
théorie des groupes comme trois axiomes et leurs conséquences.