Smithson Tennant nacque a Selby, nello Yorkshire. Il padre era un ecclesiastico e morì quando Tennant aveva 10 anni. Da ragazzo studiò alla Beverley Grammar School, la più antica scuola pubblica dell'Inghilterra, fondata intorno al 700 d.C.
Nel 1781 iniziò a studiare medicina all'Università di Edimburgo, sotto al guida di Joseph Black. Nel 1782 si spostò a Cambridge dove si dedicò alla chimica e alla botanica. Alla morte della madre ereditò delle terre nei dintorni di Selby. Negli anni 1784-1786 viaggiò in Danimarca, Svezia, Francia e Paesi Bassi; in questi paesi incontrò Carl Scheele, Johan Gottlieb Gahn, Claude Louis Berthollet e forse anche Antoine Lavoisier. Questi incontri gli dettero una visione della chimica lontana dalle tradizionali idee flogistiche. Nel 1786 tornò a Cambridge dove nel 1796 si laureò in medicina. Non esercitò però mai la professione di medico e si dedicò alla chimica.