ורסצ'ה נולד ברג'ו די קלבריה, איטליה, שם גדל יחד עם אחיו סנטו ואחותו דונטלה, שני אישים נוספים בתעשיית עיצוב האופנה ושותפים עסקיים בחברת ורסצ'ה. אמם הייתה תופרת וג'אני בילה זמן רב בילדותו בעזרה לאמו בתפירה אז רכש מיומנויות שהביאו אותו למקצוע מעצב האופנה. מצבה הכלכלי של משפחתו לא היה טוב כשל משפחות מהן יצאו מעצבי אופנה אחרים בעלי שם עולמי בני תקופתו. גם העיירה בה גדל סבלה מקשיים כלכליים חמורים אחרי מלחמת העולם השנייה והחברה שייסד לימים ורסצ'ה, שהוערכה בשנת מותו בכמיליארד דולר, נבנתה כולה בזכות עמלו.

בגיל 15 כבר עסק בציור של דגמי שמלות ובגדים שונים עבור אמו. ורסצ'ה למד אדריכלות אבל בגיל 25 עבר למילנו שם החל לעבוד דווקא כמעצב אופנה. באמצע שנות ה-70 גילו ציידי-מוחות במילנו את כשרונו של ורסצ'ה שניכר בעיצובם של סריגים שונים והוא התברג בחברת "ג'ני" היוקרתית לעיצוב טקסטילים. כמה שנים מאוחר יותר, בזכות הצלחתו הרבה שם הוציא את קולקציית הביגוד הראשונה שלו לנשים. לאורך כל הקריירה שלו עבד איתו אחיו סנטו אשר היה למעשה האיש שהוביל את החברה בפן העסקי.